Co to są logarytmy?
Wiele równań można uprościć poprzez rozszerzenie logarytmów.Termin rozszerzający logarytmy nie odnosi się do logarytmów, które rozszerzają się, ale raczej do procesu, w którym jedno wyrażenie matematyczne jest zastępowane innym zgodnie z określonymi regułami.Istnieją trzy takie zasady.Każdy z nich odpowiada określonej właściwości wykładników, ponieważ przyjmowanie logarytmu jest funkcjonalną odwrotnością wykładniania: log 3 (9) ' 2, ponieważ 3 2 ' 9.
Najczęstsza reguła rozszerzania logarytmów jest używanaoddzielne produkty.Logarytm produktu jest sumą odpowiednich logarytmów: log a ( x*y ) ' log a ( x ) + log a (y).Równanie to pochodzi od wzoru A x * a y ' a x+y .Można go rozszerzyć na wiele czynników: log a ( x*y*z*w ) ' log a ( x ) + log a ( y ) + +log a ( z ) + log a ( w ).
Podniesienie liczby do mocy ujemnej jest równoważne podnoszeniu jej mocy dodatniej: 5 -2 '(1/5) 2 ' 1/25.Równoważoną właściwością dla logarytmów jest to, że log a (1/ x ) ' -log a ( x ).Gdy ta właściwość jest połączona z zasadą produktu, stanowi prawo do przyjmowania logarytmu stosunku: log a ( x / y ) ' log a ( x ) -Log A ( y ).
Ostateczna reguła rozszerzenia logarytmów dotyczy logarytmu liczby podniesionej do mocy.Za pomocą reguły produktu stwierdzono, że log a ( x 2 ) ' log a ( x ) + log a ( x ) ' 2*log log A ( x ).Podobnie log a ( x 3 ) ' log a ( x ) + log a ( x ) + log a ( x) ' 3*log a ( x ).Zasadniczo log a ( x n ) ' n *log a ( x ), nawet jeśli n nie jest liczbą całkowitą.
teReguły można połączyć w celu rozszerzenia wyrażeń logarytmicznych o bardziej złożonym charakterze.Na przykład można zastosować drugą regułę do log a ( x 2 y / z ), uzyskując dziennik wyrażenia a ( x 2 y) - log a (z).Następnie pierwszą regułę można zastosować do pierwszego terminu, dając log a ( x 2 ) + log a ( y ) - log a ( z ).Wreszcie, zastosowanie trzeciej reguły prowadzi do wyrażenia 2*log a ( x ) + log a ( y ) - log a ( z ).
Rozszerzanie logarytmów pozwala szybko rozwiązać wiele równań.Na przykład ktoś może otworzyć konto oszczędnościowe z 400 USD dolarów.Jeśli rachunek płaci 2 -procentowe roczne odsetki spotęgowane co miesiąc, liczbę miesięcy wymaganej przed rachunkiem podwaja się wartości 400*(1 + 0,02/12) M ' 800. Dzielenie przez 400 wydajności (1 + 0,02/12) M ' 2. Przyjmowanie logarytmu zasad-10 obu stron generuje dziennik równania 10 (1 + 0,02/12) M ' log 10 (2).
To równanie można uprościć za pomocą reguły mocy do m *log 10 (1 + 0,02/12) ' log 10 (2).Za pomocą kalkulatora do znalezienia logarytmów daje m *(0,00072322) ' 0,30102.Po rozwiązaniu za m , że konto zajmie 417 miesięcy, jeśli nie zostanie zdeponowane dodatkowe pieniądze.